MÉTRICA Y CONCAVIDAD
MÉTRICA Y CONCAVIDAD
Recordemos que si I es un intervalo en la recta real R, y f:I→R es una función tal que para x, y∈I, f(ri+(1−r)x)≥rf(y)+(1−r)f(x) con 0≤r≤1 se dice que es una función cóncava.
Estudiemos una importante caracterización de las funciones cóncavas:
Si f:I→R es una función decreciente y A(z)=∫az f(t)dt (a≤z≤b), entonces A es una función cóncava.
Dados a≤x<y , consideremos z=ry+(1−r)x. Se quiere demostrar que
A(ry+(1−r)x)≥rA(y)+(1−r)A(x) (*)
Como A(z)=rA(z)+(1−r)A(z) , probar (*) equivale a probar que
(1−r)(A(z)−A(x))≥r(A(y)−A(z))
Es decir
(1−r)∫xz f(t)dt ≥r∫zy f(t)dt
Por ser f decreciente, para x≤t≤z obtenemos que f(x)≥f(t)≥f(z) y por lo tanto
(1−r)∫xz f(t)dt ≥(1−r)f(z)(z−x)
Por otro lado, para z≤t≤y obtenemos que f(z)≥f(t)≥f(y) y por lo tanto
rf(z)(y−z)≥r∫zy f(t)dt
Como z=rz+(1−r)z=ry+(1−r)x. luego (1−r)(z−x)=r(y−z)
Se deduce que
(1−r)∫xz f(t)dt ≥(1−r)f(z)(z−x)=rf(z)(y−z)≥r∫zy f(t)dt
Esto prueba lo afirmado.
Pasemos a estudiar una importante y conocida aplicación:
f:I→R es una función tal que la derivada segunda f´´(x) existe para todo x∈Y y además f´´(x) ≤0, entonces f es cóncava.
En efecto, como f´(t) es decreciente y f(z)=∫az f´(t)dt (a≤z≤b), aplicando lo anterior se deduce el resultado.
Se dice que (X,d) es un espacio métrico, si d:X× X→R es una métrica, es decir:
(a) ∀ x,y ∈ X, d(x,y)≥0 y si d(x,y)=0, entonces x=y.
(b) ∀ x,y ∈ X, d(x,y)=d(y,x) (simetría)
(c) ∀ x,y, z ∈ X, d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) (desigualdad triangular).
El siguiente es el principal resultado:
Si (X,d) es un espacio métrico y f:[0,+∞)→R es una función real tal que f(x)=0, luego x=0 , f es cóncava y creciente; entonces d´:X× X→R definida por d´(x,y)=f(d(x,y)) es una métrica sobre X. Escribimos d´=f(d)
Es claro que f(d)(x,y)=f(d(x,y)≥0 y si f(d)(x,y)=f(d(x,y)=0, entonces d(x,y)=0, luego x=y. Es claramente simétrica. Sólo falta demostrar la desigualdad triangular.
Es claro que la desigualdad triangular ocurre, si d(x,z)≤d(x,y)≤d(z.y). Por lo tanto, sólo resta estudiar los casos d(x,y)≤d(x,z)≤d(z,y) y d(x,z)≤d(z,y)≤d(x.y).
Supongamos que d(x,y)≤d(x,z)≤d(z,y), luego d(x,z)=rd(z,y)+(1−r)d(x,y) (0≤r≤1), luego
f(d(x,z))=f(rd(z,y)+(1−r)d(x,y) ≥
rf(d(z,y))+(1−r)f(d(x,y))≥rf(d(x,y))+(1−r)f(d(x,y))=f(d(x,y))
El otro caso se prueba de manera similar.
Ejemplos
Sea f(x)=√x (x≥0). Veamos que esta función cumple con las hipótesis del resultado anterior. Tenemos que la derivada primera f´(x)=1/(2√x)>0, luego es creciente en (0.+∞). Por otro lado la derivada segunda f´´(x)=−1/(4√x3)<0 y por tanto es cóncava en (0,+∞). Si x=0<y y z=ry (0<r<1), luego f(ry )=√r√x ≥r √x. Es decir f es cóncava en todo su dominio. Es claro que f es creciente también en todo su domino. Aplicando el resultado anterior deducimos que si (X,d) es un espacio métrico, entonces d´(x,y)=√d(x,y) es una métrica sobre X.
Sea f(x)=x/(1+x) ((x≥0).). Tenemos que f(0)=0 y la derivada primera f´(x)=1/(1+x)2>0, luego es creciente en (0.+∞), realmente lo es en todo su dominio. Por otro ado la derivada segunda f´´ (x)=− 2/(1+x)3<0, luego es cóncava en (0,+∞), realmente lo es en todo su dominio, luego d´(x,y)=d(x,y)/(1+d(x,y)) es una métrica.
Nota . Es importante resaltar que los resultados presentados son ejercicios del capítulo de espacios métricos del libro: "Set theory and metric spaces" de Kaplansky. Editoril chelsea. 1972. Boston.