PUNTOS LÍMITES

1.-Demostrar que si (X,d) es un espacio métrico y A es un subconjunto de X contable, entonces su clausura tiene cardinal menor o igual que el cardinal de los números reales.

Solución. Si A={x_n }, entonces A^—=AUA^d

Vamos a definir una función f:A^—→2^N, donde 2^N es la familia de todos los subconjuntos de N, cuyo cardinal es el de los números reales..

Para x_n definimos f(x_n )={n}. Supongamos ahora que x∈A^d, es decir x es un punto límite de A, entonces existe una subsucesión de términos distintos x_nk →x . Si y∈ A^d es otro punto límite distinto, entonces existe otra subsucesión x_nm →y. Es claro que {n_k }— {n_k } es infinito. Esto dice que f(x)={n_k } está bien definida y es inyectiva. Esto demuestra lo afirmado.

2.-Sea (X,d) un espacio métrico. Son equivales:

(a) Cada subconjunto de X es abierto o cerrado.
(b) X tiene a lo sumo un punto no aislado.

Solución. Para ver el directo, supongamos que existan dos puntos no aislados distintos a, b ∈X. Por ser el espacio de Hausdorff, existen bolas abiertas y disjuntas B(a,r) y B(b,s). De igual manera, existen sucesiones infinitas x_n∈B(a,r), y_n∈B(b,s). tales que x_n→a, y_n→b. Sea A={x_n}U {b}. Es claro que A no es abierto, ni es cerrado. Esto es una contradicción. Se deduce el resultado.

Para ver el recíproco, supongamos que x ∈X sea el único punto no aislado. Es claro que todo subconjunto de A de X, tal que x∉A, es un abierto en X. Si x∈A , veamos que A^d=∅. En efecto, si existe w∈ A^d, w es un punto no aislado, luego w=x. Esto asegura que A es cerrado en X.

3.-Sea (X,d) un espacio métrico. Demostrar que cada cerrado se escribe como una intersección numerable de abiertos y cada abierto como una unión numerable de cerrados.

Solución. Sea F un subconjunto de X cerrado. Es conocido que la función real f(x)=d(x,F)=inf_w∈Fd(x,w) es una función continua. Por lo tanto si definimos como K(F,r)={w∈X: d(w,F)<r}=f^—1(—r,r) abierto de la topología métrica (r>0), es directo demostrar que F=∩_n∈NK(F,1/n), donde cada U_n=K(F,1/n) es abierto. Si U es un abierto de la topología, entonces F=X—U es cerrado, luego X—U=∩_n∈NU_n, cada U_n un abierto. Tomando complementos, obtenemos que U=∪_n∈NX—U_n con cada X—U_n cerrado. Termina la prueba.

4.-Sea (X,d) un espacio métrico. Si el número de abiertos es numerable, entonces X es finto.

Solución. Veamos primero que X es numerable. De lo contrario U_x=X— {x } es un abierto de X y todos son disjuntos, lo que contradice la hipótesis del ejercicio. Esto dice que X es numerable y debe ser finito, de lo contrario X={x_n : ∈N} donde todos los x_n son distintos. Pero U_n=X—{x₁,..., x_n} es una familia de abiertos disjuntos cuyo cardinal es el cardinal de los números reales, lo que es contradictorio. Esto asegura que X es finto.

5.-Sea (X,d) un espacio métrico. Demostrar que sin A y B son subconjuntos cerrados de X disjuntos, entonces existe abiertos disjuntos U y V, tales que A⊆U y B⊆V.

Solución. Considere los subconjuntos

U={x: d(x,A)<d(x,B)} y V={x: d(x,B)<d(x,A)} .

Es claro que son disjuntos con A⊆U y B⊆V y es fácil demostrar que los complementos de cada uno de ellos son cerrados. Se termina la prueba.

Nota.

Es importante resaltar que los resultados presentados son ejercicios del capítulo de topología en espacios métricos del libro: "Set theory and metric spaces" de Kaplansky. Editoril chelsea. 1972. Boston.